Flächenträgheitsmoment berechnen – Online-Rechner
Mit unserem Flächenträgheitsmoment-Rechner kannst du das Flächenträgheitsmoment verschiedener Querschnitte direkt online berechnen. Wähle die Querschnittsform, gib die Abmessungen ein und erhalte Flächeninhalt, axiale Flächenträgheitsmomente und Widerstandsmomente samt Rechenweg.
Die Ergebnisse beziehen sich auf die Schwerpunktachsen des gewählten Querschnitts. Alle Maße müssen in derselben Einheit eingegeben werden.
Was ist das Flächenträgheitsmoment?
Das Flächenträgheitsmoment beschreibt, wie eine Querschnittsfläche um eine bestimmte Achse verteilt ist. Es wird auch Flächenmoment 2. Ordnung genannt und ist eine rein geometrische Größe. Je weiter die Fläche von der betrachteten Achse entfernt liegt, desto größer ist das Flächenträgheitsmoment.
In der Festigkeitslehre wird es unter anderem zur Berechnung von Biegespannungen und Verformungen benötigt. Ein größeres Flächenträgheitsmoment bedeutet bei gleichem Werkstoff und gleicher Belastung in der Regel eine geringere Durchbiegung.
Wie funktioniert der Flächenträgheitsmoment-Rechner?
- Wähle die passende Querschnittsform aus.
- Lege fest, ob du die Abmessungen in Millimetern, Zentimetern oder Metern eingibst.
- Trage alle geforderten Maße größer als null ein.
- Der Rechner ermittelt die Ergebnisse automatisch und zeigt den Rechenweg für Ix.
Die Ergebnisse gelten für die eingezeichneten horizontalen und vertikalen Schwerpunktachsen. Bei einem unsymmetrischen Querschnitt können die Abstände zu den Randfasern unterschiedlich sein.
Flächenträgheitsmoment berechnen: Formeln
Für jeden Querschnitt gilt eine eigene Formel. Die vierte Potenz der Länge führt dazu, dass schon kleine Änderungen der Abmessungen das Ergebnis deutlich beeinflussen.
| Querschnitt | Ix | Iy |
|---|---|---|
| Rechteck | b · h³ / 12 | h · b³ / 12 |
| Quadrat | a⁴ / 12 | a⁴ / 12 |
| Kreis | π · d⁴ / 64 | π · d⁴ / 64 |
| Kreisring | π · (D⁴ − d⁴) / 64 | π · (D⁴ − d⁴) / 64 |
| Rechteck-Hohlprofil | (B · H³ − b · h³) / 12 | (H · B³ − h · b³) / 12 |
| Gleichschenkliges Dreieck | b · h³ / 36 | h · b³ / 48 |
Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks
Für ein Rechteck mit der Breite b und der Höhe h lauten die axialen Flächenträgheitsmomente:
Ix = b · h³ / 12
Iy = h · b³ / 12
Da die zur jeweiligen Achse senkrechte Abmessung mit der dritten Potenz eingeht, ist ein hochkant angeordneter Querschnitt gegenüber einer Biegung um die x-Achse wesentlich steifer als derselbe Querschnitt in flacher Lage.
Beispiel: Flächenträgheitsmoment eines Rechtecks
Ein rechteckiger Querschnitt besitzt eine Breite von 120 mm und eine Höhe von 200 mm. Für die x-Achse ergibt sich:
Ix = 120 mm · (200 mm)³ / 12 = 80.000.000 mm⁴
Für die y-Achse lautet das Ergebnis:
Iy = 200 mm · (120 mm)³ / 12 = 28.800.000 mm⁴
Flächenträgheitsmoment von Kreis und Rohr
Bei einem Kreis sind die Flächenträgheitsmomente um beide Schwerpunktachsen gleich. Für einen Vollkreis mit dem Durchmesser d gilt Ix = Iy = π · d⁴ / 64. Bei einem Kreisring wird der Anteil des inneren Kreises abgezogen: Ix = Iy = π · (D⁴ − d⁴) / 64.
Flächenträgheitsmoment eines I-Profils
Ein symmetrisches I-Profil besteht aus zwei Flanschen und einem Steg. Ein großer Teil der Fläche liegt weit von der horizontalen Schwerpunktachse entfernt. Dadurch erreicht das Profil bei vergleichsweise geringem Materialeinsatz ein großes Ix. Der Rechner verwendet ein idealisiertes, scharfkantiges Profil ohne Radien.
Das Flächenträgheitsmoment ist nur einer der Eingabewerte für eine statische Beurteilung. Wenn du einen Holzquerschnitt unter einer konkreten Belastung untersuchen möchtest, kannst du ergänzend unseren holzbalken-traglast-rechner verwenden.
Satz von Steiner für verschobene Achsen
Liegt die betrachtete Achse nicht durch den Schwerpunkt einer Teilfläche, wird der Satz von Steiner verwendet. Er lautet:
I = IS + A · e²
- I: Flächenträgheitsmoment um die verschobene Achse
- IS: Flächenträgheitsmoment um die parallele Schwerpunktachse
- A: Querschnittsfläche
- e: senkrechter Abstand zwischen beiden Achsen
Bei zusammengesetzten Querschnitten werden die Eigenträgheitsmomente und Steiner-Anteile aller Teilflächen addiert. Aussparungen werden dabei mit negativer Fläche berücksichtigt.
Einheit des Flächenträgheitsmoments
Das Flächenträgheitsmoment hat die Dimension Länge hoch vier. Abhängig von der verwendeten Längeneinheit wird es deshalb beispielsweise in mm⁴, cm⁴ oder m⁴ angegeben.
| Umrechnung | Wert |
|---|---|
| 1 cm⁴ in mm⁴ | 10.000 mm⁴ |
| 1 m⁴ in cm⁴ | 100.000.000 cm⁴ |
| 1 m⁴ in mm⁴ | 1.000.000.000.000 mm⁴ |
Beim Umrechnen muss der Faktor der Längeneinheit in die vierte Potenz erhoben werden. Deshalb entspricht 1 cm⁴ nicht 10, sondern 10.000 mm⁴.
Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment und Massenträgheitsmoment
Das Flächenträgheitsmoment beschreibt die geometrische Verteilung einer Querschnittsfläche. Das Widerstandsmoment wird aus W = I / emax berechnet und dient zur Ermittlung der Biegespannung. Das Massenträgheitsmoment beschreibt dagegen den Widerstand eines Körpers gegen eine Änderung seiner Drehbewegung und hängt von seiner Masse ab.
Häufige Fehler bei der Berechnung
- Achsen verwechselt: Für Ix wird beim Rechteck die Höhe, für Iy die Breite kubiert.
- Einheiten gemischt: Alle Abmessungen müssen in derselben Längeneinheit eingesetzt werden.
- Radius statt Durchmesser: Die Kreisformel des Rechners verwendet den Durchmesser d.
- Schwerpunktachse übersehen: Die Standardformeln gelten um die jeweilige Schwerpunktachse.
- Steiner-Anteil vergessen: Bei verschobenen Teilflächen muss A · e² berücksichtigt werden.
Häufige Fragen zum Flächenträgheitsmoment-Rechner
Wie berechnet man das Flächenträgheitsmoment?
Wähle die Formel der jeweiligen Querschnittsform und setze die Abmessungen in einer einheitlichen Längeneinheit ein. Für ein Rechteck gilt um die x-Achse Ix = b · h³ / 12 und um die y-Achse Iy = h · b³ / 12.
Warum wird das Ergebnis in mm⁴ oder cm⁴ angegeben?
Das Flächenträgheitsmoment entsteht aus einer Fläche und dem Quadrat eines Abstandes. Dadurch ergibt sich insgesamt die vierte Potenz einer Längeneinheit.
Ist ein größeres Flächenträgheitsmoment besser?
Bei gleicher Belastung, Spannweite und gleichem Material führt ein größeres Flächenträgheitsmoment normalerweise zu einer geringeren Biegeverformung. Ob ein Querschnitt ausreichend ist, muss jedoch im vollständigen statischen Nachweis geprüft werden.
Was ist das polare Flächenträgheitsmoment?
Das polare Flächenträgheitsmoment um einen Punkt ist die Summe der beiden axialen Flächenträgheitsmomente: Ip = Ix + Iy. Es darf nicht ohne Weiteres mit der Torsionskonstante offener Profile gleichgesetzt werden.
Was ist der Satz von Steiner?
Der Satz von Steiner überträgt ein Flächenträgheitsmoment von einer Schwerpunktachse auf eine dazu parallele Achse. Dafür wird der Steiner-Anteil A · e² zum Eigenträgheitsmoment addiert.
Sind I, J und Flächenmoment 2. Ordnung dasselbe?
In Tabellen und technischen Quellen werden für Flächenträgheitsmomente sowohl I als auch J verwendet. „Flächenmoment 2. Ordnung“ ist eine alternative Bezeichnung. Entscheidend ist, welche Achse und welche Definition angegeben sind.
Kann der Rechner einen statischen Nachweis ersetzen?
Nein. Der Rechner ermittelt geometrische Querschnittswerte für idealisierte Formen. Belastungen, Materialkennwerte, Stabilität, Verbindungen und Sicherheitsbeiwerte müssen in einem vollständigen statischen Nachweis separat berücksichtigt werden.