Durchbiegung berechnen – Online-Rechner für Balken
Mit unserem Durchbiegungsrechner kannst du die maximale Durchbiegung eines Balkens schnell online berechnen. Wähle Lagerung, Belastung, Material und Querschnitt aus. Der Rechner zeigt dir die Durchbiegung in Millimetern, die verwendete Formel und einen Vergleich mit einem ausgewählten Grenzwert.
Der Rechner verwendet idealisierte Balkenmodelle und linear-elastisches Materialverhalten. Das Ergebnis ersetzt keinen statischen Nachweis.
Was bedeutet Durchbiegung?
Als Durchbiegung wird die Verformung eines Balkens oder Trägers quer zu seiner ursprünglichen Längsachse bezeichnet. Sie entsteht, wenn eine Einzel- oder Streckenlast auf das Bauteil wirkt. Die maximale Durchbiegung wird üblicherweise mit f bezeichnet und in Millimetern angegeben.
Ein Balken kann eine Last tragen und sich trotzdem sichtbar oder funktional problematisch verformen. Deshalb sind Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit getrennt zu betrachten.
Wie funktioniert der Durchbiegungsrechner?
- Wähle die Lagerung des Balkens aus.
- Bestimme, ob eine Einzellast oder eine gleichmäßig verteilte Last wirkt.
- Gib Spannweite und Belastung ein.
- Wähle das Material und damit den Elastizitätsmodul aus.
- Gib die Abmessungen des Querschnitts oder das Flächenträgheitsmoment ein.
- Die maximale Durchbiegung und der Vergleich mit dem ausgewählten Grenzwert werden automatisch angezeigt.
Alle Eingaben werden intern in Newton und Millimeter umgerechnet. Bei einer Gleichlast gilt praktisch: 1 kN/m = 1 N/mm.
Durchbiegung berechnen: Formeln
Die Formel für die Berechnung der Durchbiegung hängt von der Lagerung und der Lastverteilung ab. Die folgenden Formeln gelten für gerade Balken mit konstantem Querschnitt, kleinen Verformungen und linear-elastischem Materialverhalten.
| Lagerung | Belastung | Maximale Durchbiegung | Position |
|---|---|---|---|
| Beidseitig gelagert | Mittige Einzellast F | f = F · L³ / (48 · E · I) | x = L/2 |
| Beidseitig gelagert | Gleichlast q | f = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I) | x = L/2 |
| Kragarm | Einzellast F am freien Ende | f = F · L³ / (3 · E · I) | x = L |
| Kragarm | Gleichlast q | f = q · L⁴ / (8 · E · I) | x = L |
| Beidseitig eingespannt | Mittige Einzellast F | f = F · L³ / (192 · E · I) | x = L/2 |
| Beidseitig eingespannt | Gleichlast q | f = q · L⁴ / (384 · E · I) | x = L/2 |
Bedeutung der Formelzeichen
| Zeichen | Bedeutung | Einheit im Rechner |
|---|---|---|
| f | Maximale Durchbiegung | mm |
| F | Einzellast | N |
| q | Gleichmäßig verteilte Last | N/mm |
| L | Spannweite beziehungsweise Balkenlänge | mm |
| E | Elastizitätsmodul | N/mm² |
| I | Flächenträgheitsmoment | mm⁴ |
Beispiel: Durchbiegung bei einer Einzellast
Ein beidseitig gelagerter Stahlbalken besitzt eine Spannweite von 4 m und einen rechteckigen Querschnitt von 100 mm × 200 mm. In der Balkenmitte wirkt eine Einzellast von 2 kN.
Für den rechteckigen Querschnitt ergibt sich zunächst:
I = b · h³ / 12 = 100 · 200³ / 12 = 66.666.667 mm⁴
Mit E = 210.000 N/mm² und L = 4.000 mm lautet die Berechnung:
f = 2.000 · 4.000³ / (48 · 210.000 · 66.666.667) ≈ 0,19 mm
Die maximale Durchbiegung tritt bei diesem Lastfall in der Mitte des Balkens auf.
Flächenträgheitsmoment des Querschnitts
Das Flächenträgheitsmoment beschreibt, wie stark sich ein Querschnitt einer Biegung um eine bestimmte Achse widersetzt. Es hängt nicht vom Material, sondern ausschließlich von Form, Abmessungen und Biegeachse des Querschnitts ab.
| Querschnitt | Flächenträgheitsmoment |
|---|---|
| Rechteck | I = b · h³ / 12 |
| Runder Vollquerschnitt | I = π · d⁴ / 64 |
Weil die Höhe eines rechteckigen Querschnitts mit der dritten Potenz in die Berechnung eingeht, kann bereits eine größere Querschnittshöhe die Durchbiegung deutlich reduzieren. Bei einem hochkant eingebauten Rechteckbalken ist das Flächenträgheitsmoment daher wesentlich größer als bei demselben Balken in flacher Lage.
Einfluss von Spannweite, Material und Querschnitt
- Spannweite: Bei einer Einzellast geht L³ und bei einer Gleichlast L⁴ in die Formel ein. Eine größere Spannweite erhöht die Durchbiegung deshalb stark.
- Belastung: Verdoppelt sich F oder q, verdoppelt sich bei ansonsten unveränderten Bedingungen auch die Durchbiegung.
- Elastizitätsmodul: Je größer E ist, desto geringer fällt die elastische Verformung aus.
- Flächenträgheitsmoment: Ein größeres I erhöht die Biegesteifigkeit und verringert die Durchbiegung.
Durchbiegung bei Einzellast und Gleichlast
Eine Einzellast greift konzentriert an einer bestimmten Stelle an. Der Rechner setzt sie bei beidseitig gelagerten oder eingespannten Balken in der Balkenmitte und bei einem Kragarm am freien Ende an.
Eine Gleichlast ist gleichmäßig über die gesamte Balkenlänge verteilt. Typische Beispiele sind ein gleichmäßig verteilter Aufbau oder eine über mehrere Punkte eingeleitete Last, die vereinfachend als Streckenlast betrachtet wird.
Durchbiegung eines Kragarms berechnen
Ein Kragarm ist nur an einer Seite fest eingespannt. Die größte Durchbiegung entsteht am freien Ende. Bei einer dort angreifenden Einzellast lautet die Formel:
f = F · L³ / (3 · E · I)
Bei einer gleichmäßig über den Kragarm verteilten Last gilt:
f = q · L⁴ / (8 · E · I)
Zulässige Durchbiegung und Grenzwerte
Grenzwerte für die Durchbiegung werden häufig als Verhältnis zur Spannweite angegeben, beispielsweise L/250, L/300 oder L/500. Bei einer Spannweite von 4.000 mm entsprechen diese Werte:
| Vergleich | Wert bei L = 4.000 mm |
|---|---|
| L/250 | 16,00 mm |
| L/300 | 13,33 mm |
| L/500 | 8,00 mm |
Welcher Grenzwert tatsächlich anzuwenden ist, hängt unter anderem von Material, Bauteil, Nutzung, Ausbau, Anschlussdetails und den geltenden technischen Vorgaben ab. Die Auswahl im Rechner dient deshalb nur dem rechnerischen Vergleich und stellt keinen Nachweis der Gebrauchstauglichkeit dar.
Durchbiegung und Tragfähigkeit unterscheiden
Eine geringe Durchbiegung bedeutet nicht automatisch, dass ein Balken ausreichend tragfähig ist. Zusätzlich müssen unter anderem Spannungen, Stabilität, Auflager und Verbindungen geprüft werden. Möchtest du speziell die mögliche Belastbarkeit eines Holzträgers abschätzen, nutze unseren holzbalken traglast rechner.
Typische Fehler bei der Berechnung der Durchbiegung
- Falsche Lagerung: Ein gelagerter Balken und ein Kragarm besitzen deutlich unterschiedliche Formeln.
- Einzellast und Gleichlast verwechselt: Eine Kraft in kN darf nicht ohne Weiteres als Streckenlast in kN/m behandelt werden.
- Falsche Einheiten: E, I, Länge und Belastung müssen in zueinander passenden Einheiten eingesetzt werden.
- Falsche Biegeachse: Das Flächenträgheitsmoment muss sich auf die tatsächlich beanspruchte Achse beziehen.
- Breite und Höhe vertauscht: Beim Rechteck geht die Höhe mit der dritten Potenz in I ein.
- Ungeeigneter E-Modul: Besonders bei Holz hängt der anzusetzende Wert von Produkt, Festigkeitsklasse, Richtung und weiteren Bedingungen ab.
Grenzen der Berechnung
Der Rechner bildet idealisierte, gerade Balken mit konstantem Querschnitt und kleinen elastischen Verformungen ab. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise Eigengewicht, mehrere unterschiedliche Lasten, außermittige Einzellasten, veränderliche Querschnitte, Schubverformungen, Kriechen, Feuchtigkeitseinflüsse, Stabilitätsversagen oder nachgiebige Verbindungen.
Für tragende oder sicherheitsrelevante Bauteile sind die vollständigen Einwirkungen und Nachweise durch eine entsprechend qualifizierte Fachperson zu prüfen.
Häufige Fragen zur Berechnung der Durchbiegung
Wie berechnet man die Durchbiegung eines Balkens?
Die Berechnung erfolgt mit einer zum Lagerungs- und Lastfall passenden Balkenformel. Benötigt werden mindestens Spannweite, Belastung, Elastizitätsmodul und Flächenträgheitsmoment. Bei einem beidseitig gelagerten Balken mit mittiger Einzellast gilt f = F · L³ / (48 · E · I).
Kann ich die Durchbiegung online berechnen?
Ja. Wähle im Rechner die Lagerung, die Lastart, das Material und den Querschnitt aus. Die maximale Durchbiegung wird während der Eingabe automatisch in Millimetern berechnet.
Wo tritt die maximale Durchbiegung auf?
Bei den hier berechneten symmetrisch belasteten, beidseitig gelagerten oder eingespannten Balken liegt sie in der Mitte. Bei einem Kragarm mit Einzellast am freien Ende oder einer Gleichlast über die gesamte Länge entsteht sie am freien Ende.
Welche Einheit hat die Durchbiegung?
Die Durchbiegung ist eine Länge und wird im konstruktiven Bereich meist in Millimetern angegeben. Der Rechner rechnet die eingegebene Spannweite automatisch in Millimeter um.
Was ist der Unterschied zwischen E-Modul und Flächenträgheitsmoment?
Der Elastizitätsmodul E beschreibt die Steifigkeit des Materials. Das Flächenträgheitsmoment I beschreibt den Einfluss von Form und Abmessungen des Querschnitts. Das Produkt E · I wird als Biegesteifigkeit bezeichnet.
Welcher Grenzwert ist zulässig?
Das lässt sich nicht pauschal beantworten. Der erforderliche Grenzwert hängt vom Bauteil, Werkstoff, Nutzung, Ausbau und den anzuwendenden technischen Regeln ab. Die Werte L/250, L/300 und L/500 im Rechner dienen nur als auswählbare Vergleichswerte.
Berücksichtigt der Rechner das Eigengewicht?
Nein. Das Eigengewicht wird nicht automatisch ergänzt. Soll es berücksichtigt werden, muss es zusammen mit weiteren gleichmäßig verteilten Lasten als resultierende Gleichlast eingegeben werden.